张景中先生在《计算机如何解几何题——谈谈自动推理》书中提到了共边定理:
两直线 AB , PQ 交于一点 M 。共边定理用两个三角形的面积比简单地表示出 M 在线段 PQ 上的位置。这个事实，在几何问题的机器求解中起了关键的作用。
共边定理涉及平面几何构图中最常见的一个步骤：两直线 AB , PQ 交于一点 M 。要确定交点 M 的位置，本是一件不容易的事，它相当于解二元一次联立方程组。而共边定理却用两个三角形的面积比简单地表示出 M 在线段 PQ 上的位置。等式右端的 M ，在左端不出现了，也就是被消去了。
为什么说两直线 AB , PQ 交于一点 M ，要确定交点 M 的位置，相当于解二元一次联立方程组？
许莼舫先生编写的《代数和初等函数学习指导》书中介绍二元一次方程组的解法时，恰好回答了这个问题。我们来看看许莼舫先生是怎么说的。
(代数和初等函数学习指导上册，第十一章:一次函数·直线和二元一次方程组)
二元一次方程組
1．二元一次方程組和它的解
含有相同未知数的两个二元一次方程联合起来，所成的叫做"二元一次方程組"或"二元一次联立方程"。同时适合于二元一次方程組里的两个方程的未知数的值，即两个方程的公共解，叫做"二元一次方程組的解"。求方程組的解，或确定方程組沒有解的过程，叫做"解方程組"。
2．利用图象解二元一次方程組
作出两个方程的图象，这两个图象的交点的坐标，就是这个方程組的解。
例题241.解下列的二元一次方程組：
解 給方程（1）中的 x 以两个任意值，可得 y 的相应值：
以 x 作横坐标， y 作纵坐标，在图10中描出两个点；A(-2,10); B (2,6)。
通过这两个点作一条直线①.
再用同法算出方程（2）中x和 y 的两組对应值，
在图中描出两个点： C (-2,1); D (3,11)。
通过这两个点作一条直线②.
因为这两条直线相交于一点 E (1,7)，所以
这个方程組的解是
說明 凡是在图象的直线①上的任何一点，它的横坐标x和纵坐标 y 都能适合方程（1)。凡是在图象的直线②上的任何一点，它的横坐标 x 和纵坐标 y 都能适合方程（2)。把这两个方程合成方程組，因这个方程組的解必須同时适合这两个方程，所以应該取这两条直线的交点的坐标。因为直线的长无限，就是直线上的点有无穷多个，所以单独一个二元一次方程有无穷多組解，即x 、 y 的值不能确定，这一个方程叫"不定方程"。又因两条直线除掉重合和平行的特殊情况外，它們有一个交点，所以普通的二元一次方程組有一組解。
利用图像解二元一次方程组
3．用加減法解二元一次方程組①
先把题中的两个方程都化成如
ax by = c
的标准形式。再利用等式的性质，分别用同数乘各方程的两边，使其中的某一个未知数系数的绝对值相同。如果这个未知数的系数是异号，就用加法；是同号，就用減法，把两个方程的两边分别加减，就可以消去一个未知数而得到一个一元一次方程。解这个方程，得一个未知数的值。用这个值代入原方程，又可以解得另外一个未知数的值。
注释:
①在中国的古算书"九章算术"里，第八章就叫"方程"，列举各种多元一次方程組的解法，和現今代数里的加減法类似。由此可见，我国至迟在公元前一百多年就知道这一种算法了。
说明 加减法的原理是“通过两直线交点的直线”定理。这个定理的表述是:
如果两条直线
有交点，那么方程(A₁x B₁y C₁) m(A₂x B₂y C₂)=0
就表示通过这两条直线的交点的一切直线，这里的m是一个任意的常数。
二元一次方程组的应用我们以前利用一元一次方程来解的应用题，其中所求的数有两个的，都可以利用二元一次方程组来解，解法是用x、y代题中的两个所求数，依题意列出两个方程，然后求出方程组的解来，如果是适合题意的，那就是所求的答数。
应用题的类型很多，本文只谈谈混合问题。小学的鸡兔同笼就是特殊的混合问题。举个例子，鸡兔共有35个头，94只脚，问鸡兔各有多少？
这就是特殊的混合问题，可以用二元一次方程组来解。方程(1)：x y=35，翻译成日常语言就是一只鸡有一个头，一只兔有一个头，共有35个头。
方程(2)：2x 4y=94，翻译成日常语言就是一只鸡有2只脚，一只兔有4只脚，共有94只脚。解方程组就得到鸡兔的数量。
一般的混合问题也可以用二元一次方程组来解答。方程(1)：3x 4y=85，翻译成日常语言就是一只怪鸡有三个头，一只怪兔有四个头，共有85个头。方程(2)：5x 4y=107，翻译成日常语言就是一只怪鸡有5只脚，一只怪兔有4只脚，共有107只脚。解方程组就得到怪鸡和怪兔的数量。
再看一个比较困难的混合问题。
例题252 有甲、乙两种液体，如果取甲液体10.8克和乙液体4.8克，就可以合成比重是1.56的混合液，如果所取两种液体的重量相等，那末所成混合液的比重是1.44，求这两种液体的比重。
解 设甲液体的比重是x，那末这种液体1立方厘米的重量是x克，所以10.8所占体积是10.8/x立方厘米。又设乙液体的比重是 y ，那末这种液体1立方厘米的重量是 y 克，可以推得乙液体4.8克所占的体积是4.8/y立方厘米。但是混合液是
（10.8十4.8）克，比重是1.56，所以它的体积是(10.8 4.8)/1.56立方厘米，由此可得一个二元一次方程。再设两种液体重量相等时各重 a 克，那末混合液重2a克，仿上法又可得一个二元一次方程。这两个二元一次方程合成的方程組如下：
答 甲液体的比重是1.8，乙液体的比重是1.2
因为分母含有字母，所以上图解的是二元一次分式方程组，可能有些同学没有看懂是怎么解出来的。难者不会，会者不难。用换元法就可以轻松解方程组。
最后，我们来解答一道几何计算题，作为本文的结束。请看下图，思考一下如何计算黄色阴影面积？
问题图
根据等高三角形面积等于底之比，我们可以列出等式，并用二元一次方程组解决问题。本题解法很多，辅助线作法也多，因为本文主题是二元一次方程组，所以我们选择了下图所示的解法。
连接AE，设△AED面积为x，则△ABE面积为36-x，题目要求的阴影面积为△CDE=y，据题意可得二元一次方程组:
答:黄色阴影面积为8
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
